Question

已知a为实数，f（x）=（x 2 -4）（x-a），f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）若f′（-1）=0，求f（x）在[-

已知a为实数，f（x）=（x 2 -4）（x-a），f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上均单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

（I）∵f（x）=（x 2 -4）（x-a）， ∴f′（x）=2x（x-a）+（x 2 -4） 又∵f′（-1）=-2×（-1-a）+（1-4）=0， ∴a= 1 2 ∴f（x）=（x 2 -4）（x- 1 2 ）， ∴f′（x）=2x（x- 1 2 ）+（x 2 -4）=3x 2 -x-4 令f′（x）=0， 解得x=-1，x= 4 3 ， 当x∈[-2，-1]时，f′（x）≤0恒成立，f（x）为减函数 当x∈[-1，4/3]时，f′（x）≥0恒成立，f（x）为增函数， 当x∈[4/3，2]时，f′（x）≤0恒成立，f（x）为减函数 又∵f（-2）=0，f（-1）= 9 2 ，f（ 4 3 ）=- 50 27 ，f（2）=0 可以得到最大值为 9 2 ，最小值为- 50 27 （II）∵f（x）=（x 2 -4）（x-a）， ∴f′（x）=3x 2 -2ax-4， 依题意：f′（x）=3x 2 -2ax-4≥0对（-∞，-2]恒成立，即 2ax≤3x 2 -4 ∴a≥ 3 2 x- 2 x 又∵y= 3 2 x- 2 x 在（-∞，-2]上为增函数，故x=-2时， 3 2 x- 2 x 取最大值-2， 所以a≥-2 f′（x）=3x 2 -2ax-4≥0对[2，+∞）恒成立，即 2ax≤3x 2 -4 ∴a≤ 3 2 x- 2 x 又∵y= 3 2 x- 2 x 在[2，+∞）上为增函数，故x=2时， 3 2 x- 2 x 取最小值2， 所以a≤2 故a的取值范围为[-2，2]．