Question

已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交

已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若PF1=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是______．

Answer 1

如图，设椭圆的长半轴为a₁，双曲线的半实轴长为a₂，
它们公共的焦距为2c，|PF₂|=n，
∵|PF₁|=10，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．
∴由椭圆与双曲线的定义，得

10+n＝2a1 10?n＝2a2 n＝2c

，解之得

a1＝5+c a2＝5?c

，
∵双曲线的离心率的取值范围为（1，2），∴1＜

c

5?c

＜2，
设

c

5?c

=x，可得c=

5x

1+x

，
从而得到椭圆的离心率e=

c

5+c

=

x

2x+1

=

1

2

-

1

4x+2

．
由1＜x＜2，可得

1

2

?

1

6

＜

1

2

-

1

4x+2

＜

1

2

?

1

10

，即

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