Question

已知椭圆 C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的焦点为F 1 （-1

已知椭圆 C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的焦点为F 1 （-1，0），F 2 （1，0），且经过点 P(1， 3 2 ) ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过F 1 的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF 2 为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆 C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的焦点为F 1 （-1，0），F 2 （1，0），且经过点 P(1， 3 2 ) ． ∴ c=1 1 a 2 + 9 4 b 2 =1 a 2 = b 2 + c 2 ，解得 a=2，b= 3 ， ∴椭圆C的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ． （Ⅱ）假设存在符合条件的点M（x 0 ，y 0 ）， 设直线l的方程为x=my-1， 由 x=my-1 3 x 2 +4 y 2 =12 得：（3m 2 +4）y 2 -6my-9=0， △=36m 2 +36（3m 2 +4）＞0， ∴ y 1 + y 2 = 6m 3 m 2 +4 ， ∴AB的中点为 (- 4 3 m 2 +4 ， 3m 3 m 2 +4 ) ， ∵四边形AMBF 2 为平行四边形，∴AB与MF 2 的中点重合，即： x 0 +1 2 =- 4 3 m 2 +4 y 0 2 = 3m 3 m 2 +4 ∴ M(- 3 m 2 +12 3 m 2 +4 ， 6m 3 m 2 +4 ) ， 把点M坐标代入椭圆C的方程得：27m 4 -24m 2 -80=0 解得 m 2 = 20 9 ， ∴存在符合条件的直线l的方程为： y=± 3 5 10 (x+1) ．