如图，已知点A（0，1），C（4，3），E(154，238)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部（不在各边上）的一动点
如图，已知点A（0，1），C（4，3），E(154，238)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部（不在各边上）的一动点，点D在y轴上，抛物线y=ax2+bx+1以P为顶...
如图，已知点A（0，1），C（4，3），E(154，238)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部（不在各边上）的一动点，点D在y轴上，抛物线y=ax2+bx+1以P为顶点．（1）求证：A、C、E三点共线；（2）设抛物线y=ax2+bx+1与x轴有交点F、G（F在G的左侧），△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，试确定a、b的取值范围．
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（1）由题意，A（0，1）、C（4，3）两点确定的直线解析式为：y=
x+1，
将点E的坐标（
，
），代入y=
x+1中，左边=
，右边=
×
+1=
，
∵左边=右边，
∴点E在直线y=
x+1上，
即点A、C、E在一条直线上；
（2）连接GA、FA．
∵S△GAO-S△FAO=3
∴
GO?A0=
FO?AO=3．
∵OA=1，
∴GO-FO=6．
设F（x1，0），G（x2，0），
则x1、x2是方程ax2+bx+1=0的两个根，且x1＜x2，
又∵a＜0
∴x1?x2=
＜0，
∴GO=x2、FO=-x1
∴x2-（-x1）=6，即x2+x1=6
∵x2+x1=-
，
∴-
=6，
∴抛物线的解析式为：y=ax2-6ax+1，其顶点P的坐标为（3，1-9a）
∵顶点P在矩形ABCD的内部，
∴1＜1-9a＜3，
∴-
＜a＜0①
由方程组
，
得：ax2-（6a+
）x=0，
∴x=0或x=
=6+
| 1 |
| 2 |
将点E的坐标（
| 15 |
| 4 |
| 23 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| 23 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
| 23 |
| 8 |
∵左边=右边，
∴点E在直线y=
| 1 |
| 2 |
即点A、C、E在一条直线上；
（2）连接GA、FA．
∵S△GAO-S△FAO=3
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵OA=1，
∴GO-FO=6．
设F（x1，0），G（x2，0），
则x1、x2是方程ax2+bx+1=0的两个根，且x1＜x2，
又∵a＜0
∴x1?x2=
| 1 |
| a |
∴GO=x2、FO=-x1
∴x2-（-x1）=6，即x2+x1=6
∵x2+x1=-
| b |
| a |
∴-
| b |
| a |
∴抛物线的解析式为：y=ax2-6ax+1，其顶点P的坐标为（3，1-9a）
∵顶点P在矩形ABCD的内部，
∴1＜1-9a＜3，
∴-
| 2 |
| 9 |
由方程组
|
得：ax2-（6a+
| 1 |
| 2 |
∴x=0或x=
6a+
| ||
| a |
| 1 |
