Question

设g（x）在x=0处二阶可导，且g（0）=0，已知f（x）=g(x)x， 若x≠0a， 若x＝0，在x=0处可...

设g（x）在x=0处二阶可导，且g（0）=0，已知f（x）=g(x)x， 若x≠0a， 若x＝0，在x=0处可导，求a和f′（0）．

Answer 1

因为f（x）在x=0处可导，故在x=0处连续，从而由连续函数的性质，可得
a=f（0）
=

lim

x→0

f(x)
=

lim

x→0

g(x)

x

=

lim

x→0

g(x)?g(0)

x?0

=g′（0）．
利用导数的定义，
f′（0）=

lim

x→0

f(x)?f(0)

x?0

 
=

lim

x→0

g(x) x ?g′(0)

x?0

 
=

lim

x→0

g(x)?xg′(0)

x2

 
=

lim

x→0

g′(x)?g′(0)

2x

=

1

2

lim

x→0

g′(x)?g′(0)

x?0

=

1

2

g″(0)．