Question

已知数列{an}满足 a1=1，an=2an-1+1，（n＞1）（1）写出数列的前4项；（2）求数列{an}的通项公式；（3）

已知数列{an}满足 a1=1，an=2an-1+1，（n＞1）（1）写出数列的前4项；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求数列{an}的前n项和．

Answer 1

（1）a₁=1，a_n=2a_n-1+1a₂=2a₁+1=3，------------1分
a₃=2a₂+1=7-------------2分
a₄=2a₃+1=15---------3分
（2）a₁=1，a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1）-----------4分

an+1

an?1+1

＝2-----------5分
∴{a_n+1}是以a₁+1=1+1=2为首项，公比为2的等比数列，----6分
∴an+1＝2×2n?1＝2n-----------7分
∴an＝2n?1-----------8分
（3）数列{a_n}的前n项和为S_n
则S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n
=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+（2⁴-1）+…+（2ⁿ-1）---------10分
=（2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-n------11分
=

2?2n×2

1?2

?n---------13分
=2ⁿ⁺¹-2-n---------14分．