Question

设A是n阶实对称阵，AB+B的转置A是正定矩阵，证明A是可逆矩阵

求详细过程

Answer 1

证明：
因为A实对称，所以存在正交矩阵U，使得U'AU=diag对角阵，对角线上是A的n个特征值。
由题U'(AB+B'A)U与AB+B'A合同，也正定，其顺序主子式必定大于0。
U'(AB+B'A)U=U'AUU'BU+U'B'UU'AU=diagU‘BU+U’B'Udiag
记P=U‘BU 那么U'(AB+B'A)U=diagP+P'diag。
如果A的特征值中有0，不妨设diag对角阵上第一个元素a11为0（也就是A的特征之中有0）
根据U'(AB+B'A)U=diagP+P'diag。和矩阵的乘法运算，这个矩阵的第一行第一列元素也为0.

这就与顺序主子式都大于零矛盾了。所以A的n个特征值都不为0，A可逆。