Question

已知函数f(x)=(x²-2x/a+1/a)e^ax(a>0),讨论函数单调性

Answer 1

f'(x)=(2x-2/a)e^ax+(x^2-2x/a+1/a)ae^ax=e^ax(2x-2/a+ax^2-2x+1)=e^ax(ax^2-2/a+1)
解不等式f'(x)>0，由于a>0, 有e^ax>0，所以方程即为ax^2-2/a+1>0,化简为x^2>(2-a)/a^2
当a>2时，(2-a)/a^2<0，x^2>(2-a)/a^2恒成立，所以f(x)在R上单调递增
当0<a<=2时，不等式的解为x>√(2-a) /a或x<-√(2-a) /a，所以f(x)在(-∞,-√(2-a) /a)∪(√(2-a) /a, +∞)上单调递增
同样地，解不等式f'(x)<0，结果为
当a>=2时，解集为空
当0<a<2时，解为-√(2-a) /a<x<√(2-a) /a，所以f(x)在(-√(2-a) /a,√(2-a) /a)上单调递减

综上，
当0<a<2时，f(x)在(-∞,-√(2-a) /a)∪(√(2-a) /a, +∞)上单调递增，在(-√(2-a) /a,√(2-a) /a)上单调递减
当a=2时，f(x)在(-∞,0)∪(0, +∞)上单调递增
当a>2时，f(x)在R上单调递增

Answer 2

x>1/a,增函数；
x<1/a,减函数。