Question

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥BC于E,BD=BC,F为CD中点,求证:EF⊥AF

Answer 1

证明：

取AB的中点G,连GF,AE

因为F是CD的中点

所以FG是梯形的中位线

所以FG∥BC

所以∠AGF=∠ABC=90

因为AG=BG

所以FG是△ABF的垂直平分线

所以AF=BF,

因为DE⊥EC

所以∠DEC=90

因为F是CD的中点

所以EF=CD/2=FC,

因为AD∥BC

所以∠BAD=∠ABC=90

所以四边形ABED是矩形

所以AE=BD

所以△AEF≌△BCF

所以∠AFE=∠BFC

因为BD=BC,F是CD的中点

所以BF⊥CD

所以∠BFC=90

所以∠AFE=90°

即EF⊥AF

Answer 2

∵ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥BC于E，∴ABED为矩形，∴AD＝BE，又,DE⊥BC于E，,F为CD中点,，∴FD＝FE，∠FDE＝∠FED，∠ADE＝∠BED＝90º，∴∠ADF＝∠BEF，∴⊿ADF≌⊿BEF，∴∠AFD＝∠BFE。又BD=BC,F为CD中点,，∴BF⊥CD，即∠AFD＋∠AFB＝90º，又∠AFD＝∠BFE，∴∠BFE＋∠AFB＝90º，即∠AFE＝90º，∴EF⊥AF。