Question

设随机变量x的概率密度为f(x)=e^-x,x>0,f(x)=0,其它,求y=x^2的概率密度

Answer 1

F(y)=P(Y<y)=P(x^2<y)=P(-y^0.5<x<y^0.5)=Fx(y^0.5)-Fx(-y^0.5)，其中Fx(x)=1-e^-x带入即可 微分得到f(y)=(0.5y^-0.5)(e^(y^0.5)+e^(-y^0.5))。 或者用Jacobian做。 

x=(+or-y^0.5)，|Jacobian|=|dx/dy|=1/2y^-0.5 f(y)=(0.5y^-0.5) (fx(y^0.5)+fx(-y^0.5))= (0.5y^-0.5)(e^(y^0.5)+e^(-y^0.5)) 

任意的随机变量x，y=x^2的分布都是(0.5y^-0.5)(fx(y^0.5)+fx(-y^0.5))下次直接套这个公式就好，上面的证明对于一切随机变量x都适用。

扩展资料：

事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小。

可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

由薛定谔方程式的可知，对于一个质量为m，在势能为V的势场中运动的微粒来说，有一个与这个微粒运动相联系的波函数ψ，这个波函数就是薛定谔方程的一个合理的解，每一个解都与相应的常数E对应，就是微粒在这一运动状态的能量（或能级）。

参考资料来源：百度百科——概率密度

Answer 2

F(y)=P(Y<y)=P(x^2<y)=P(-y^0.5<x<y^0.5)=Fx(y^0.5)-Fx(-y^0.5)，其中Fx(x)=1-e^-x带入即可
微分得到f(y)=(0.5y^-0.5)(e^(y^0.5)+e^(-y^0.5))。

或者用Jacobian做。
x=(+or-y^0.5)，|Jacobian|=|dx/dy|=1/2y^-0.5

f(y)=(0.5y^-0.5) (fx(y^0.5)+fx(-y^0.5))= (0.5y^-0.5)(e^(y^0.5)+e^(-y^0.5))

其实任意的随机变量x，y=x^2的分布都是(0.5y^-0.5)(fx(y^0.5)+fx(-y^0.5))下次直接套这个公式就好，上面的证明对于一切随机变量x都适用

Answer 3

F(y)=P(Y<y)=P(x^2<y)=P(-y^0.5<x<y^0.5)=Fx(y^0.5)-Fx(-y^0.5)，其中Fx(x)=1-e^-x带入即可 微分得到f(y)=(0.5y^-0.5)(e^(y^0.5)+e^(-y^0.5))。 或者用Jacobian做。 

x=(+or-y^0.5)，|Jacobian|=|dx/dy|=1/2y^-0.5 f(y)=(0.5y^-0.5) (fx(y^0.5)+fx(-y^0.5))= (0.5y^-0.5)(e^(y^0.5)+e^(-y^0.5)) 

任意的随机变量x，y=x^2的分布都是(0.5y^-0.5)(fx(y^0.5)+fx(-y^0.5))下次直接套这个公式就好，上面的证明对于一切随机变量x都适用。

扩展资料：

随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。

由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。

更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。

特征函数与概率密度函数有一对一的关系。因此知道一个分布的特征函数就等同于知道一个分布的概率密度函数。

参考资料来源：百度百科——概率密度函数

Answer 4

F(y)=P(Y<y)=P(x^2<y)=P(-y^0.5<x<y^0.5)=Fx(y^0.5)-Fx(-y^0.5)，其中Fx(x)=1-e^-x带入即可
微分得到f(y)=(0.5y^-0.5)(e^(y^0.5)+e^(-y^0.5))。
或者用Jacobian做。
x=(+or-y^0.5)，|Jacobian|=|dx/dy|=1/2y^-0.5
f(y)=(0.5y^-0.5)
(fx(y^0.5)+fx(-y^0.5))=
(0.5y^-0.5)(e^(y^0.5)+e^(-y^0.5))
任意的随机变量x，y=x^2的分布都是(0.5y^-0.5)(fx(y^0.5)+fx(-y^0.5))下次直接套这个公式就好，上面的证明对于一切随机变量x都适用。
扩展资料：
事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小。
可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。
由薛定谔方程式的可知，对于一个质量为m，在势能为V的势场中运动的微粒来说，有一个与这个微粒运动相联系的波函数ψ，这个波函数就是薛定谔方程的一个合理的解，每一个解都与相应的常数E对应，就是微粒在这一运动状态的能量（或能级）。
参考资料来源：搜狗百科——概率密度

Answer 5

简单计算一下即可，详情如图所示