Question

一道数学中考题

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米。M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米每秒：同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米每秒，运动时间为t秒（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？（2）当t为何值时，△AMN与△ABC相似？（3）在运动的过程中，会不会出现直线MN既平分△ABC的面积，又平分△ABC的周长的情况？若能，求出t的值；若不能，请说明理由。

Answer 1

(1)依题意CM=t,AM=12-t,AN=2t
当AM=AN时，∠AMN=∠ANM？
即12-t=2t
所以t=4
所以当t为4时，∠AMN=∠ANM
（2）依题意AB=13,因为角A是公共角，
所以当AM:AC=AN;AB时或AM:AB=AN;AC时，△AMN与△ABC相似
即（12-t):12=2t:13或（12-t):13=2t:12
所以t=156/37或72/19时，△AMN与△ABC相似
（3）不能，若平分周长
即BC+CM+BN=AM+AN
所以5+t+(13-2t)=12-t+2t
解得t=3
所以AM=9,AN=6
三角形AMN的面积=135/13
而三角形ABC的面积为30

Answer 2

（1）当AN=AM时∠AMN=∠ANM，故：12-t=2t，得出t=4s；
（2）当∠AMN或者∠ANM为直角时，两三角形相似；即：2t*tan∠A=(12-t)*sin∠A;或者：2t*sin∠A=(12-t)*tan∠A；其中sin∠A=5/13;tan∠A=5/12;
（3）已知三角形ABC面积为：30，若三角形AMN面积为15时，则：（AM*(AN*sin∠A)）/2=15;即：(12-t)*2t*5/13*1/2=15,因为这个方程无解，故不会出现这种情况；

自己可以再算算，方法反正是对的

Answer 3

（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
AN=2t=AM=12-t
得t=4
当t=4值时，∠AMN=∠ANM
（2）当t为何值时，△AMN与△ABC相似？
AN/AM=2t/（12-t）=AC/AB=12/13
t=36/7
（3）在运动的过程中，会不会出现直线MN既平分△ABC的面积，又平分△ABC的周长的情况？若能，求出t的值；若不能，请说明理由。
平分△ABC的周长时有AM+AN=2t+12-t=12+t，CM+BC+BN=t+5+13-2t=18-t
12+t=18-t
得t=3
△AMN=135/13
△ABC=30
不能出现直线MN既平分△ABC的面积，又平分△ABC的周长的情况。

Answer 4

（1）12-t=2t时(t<6.5)，角ANM=AMN t=4秒
(2)12-t/AB=2t/AC时（t<6.5)相似
得t=144/38
12-t/AC=2t/AB时（t<6.5)相似
t=156/37
(3)2t+12-t=13-2t+5+t,t=3秒时周长相等,面积自己算下

Answer 5

直角三角形ACB中，AC=12，BC=5，所以AB=13。
1、∠AMN=∠ANM，则AM=AN。AM=12-t，AN=2t，所以12-t=2t，所以t=4。
2、△AMN与△ABC有一个公共角A，所以两个三角形相似的充要条件是AM/AB=AN/AC，所以AM/AN=AB/AC=13/12，所以(12-t)/(2t)=13/12，得t=72/19。
3、△ABC的面积是1/2×AC×BC=30，直线MN平分△ABC的面积，则△AMN的面积是15，所以1/2×AM×AN×sinA=1/2×(12-t)×2t×5/13=5t(12-t)/13=15，所以t(12-t)=39，t^2-12t+39=0，判别式△＜0，方程无解。所以满足条件的t不存在。