Question

已知数列{an}的前n项和为Sn

已知数列{an}的前n项和为Sn （1）若数列{an}是等比数列，满足2a1+a3=3a2，a3+2是a2，a4的等差中项，求数列{an}
(2)是否存在等差数列{an}使对任意n属于正自然数都有an·Sn=2n^2(n+1)?若存在请求出所以满足条件的等差数列，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）解：2a1+a3=3a2得出2a1+a1·q^2=3a1·q整理得
q^2-3q+2=0得出q=1或q=2
又由2(a3+2)=a2+a4得出2(a1·q^2+2)=a1·q+a1·q^3 ①
当q=1时 ①式无解
当q=2时 ①式整理得8a1+4=10a1即a1=2
则an=2·2^(n-1)=2^n
（2）解：an·Sn=2n^2(n+1)

追问

第二问怎么做啊

追答

那个等式中的右边是不是2n的2（n+1）次方呢？

Answer 2

假设存在满足条件的数列{an}，设此数列的公差为d.
法一：[a1＋(n－1)d]＝2n2(n＋1)，
即n2＋n＋
＝2n2＋2n对任意n∈N*恒成立，则
解得或
此时an＝2n或an＝－2n.
故存在等差数列{an}，使对任意nN*，
都有an·Sn＝2n2(n＋1)，其中an＝2n或an＝－2n.