Question

如图,已知在三角形ABC中,分别以AC,BC为边向外做正三角形BCE、正三角形ACD，BD与AE交于

如图,已知在三角形ABC中,分别以AC,BC为边向外做正三角形BCE、正三角形ACD，BD与AE交于M，求证：MC平分角DME

Answer 1

证明：
∵⊿ACD和⊿BCE都是等边三角形
∴AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=60º
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACB
即∠DCB=∠ACE
∴⊿DCB≌⊿ACE（SAS）
∴BD=AE，S⊿DCB=S⊿ACE
作CM⊥BD于M，CN⊥AE于N
则S⊿DCB=½CM×BD，S⊿ACE=½CN×AE
∴CM =CN
∴CM平分∠DME【到角两边的距离相等的点在角的平分线上】
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Answer 2

因为⊿bce和⊿acf是等边三角形
所以∠bce=∠acf=60°
又因为∠bce=∠bca+∠ace，∠acf=∠fce+∠ace
所以∠bca=∠ecf
因为⊿bce和⊿acf是等边三角形
所以bc=ec，ac=fc
所以⊿bac≌⊿ecf（边角边）
所以ab=fe
又因为⊿dba是等边三角形
所以da=ba=fe(2)
同理，证明⊿bed≌⊿bca，推导出de=ac=af
于是de=af，da=ef
所以四边形adef是平行四边形（对边相等的四边形是平行四边形）