Question

如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延

如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n，（1）当n=1时，则AF=______；（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．

Answer 1

（1）∵△BDE是等边三角形， ∴∠EDB=60°， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠BAC=180°-90°-30°=60°， ∴FAC=180°-60°-60°=60°， ∴∠F=180°-90°-60°=30°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACF=180°-90°， ∴AF=2AC=2×1=2； （2）证明：∵△BDE是等边三角形， ∴BE=BD，∠EDB=∠EBD=60°， 在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C， 即∠ADE+60°=∠CBD+90°， ∴∠ADE=30°+∠CBD， ∵∠HBE+∠ABD=60°，∠CBD+∠ABD=30°， ∴∠HBE=30°+∠CBD， ∴∠ADE=∠HBE， 在△ADE与△HBE中， BH=AD ∠ADE=∠HBE BE=BD ， ∴△ADE≌△HBE（SAS）， ∴AE=HE，∠AED=∠HEB， ∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB， 即∠AEH=∠BED=60°， ∴△AEH为等边三角形．