(2011山东烟台,26,14分)如图,在直角坐标系中,梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上,底边 CD 的端点 D 在
(2011山东烟台,26,14分)如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为y=-x+,点A、D的坐标分别为(-4...
(2011山东烟台,26,14分)如图,在直角坐标系中,梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上,底边 CD 的端点 D 在 y 轴上.直线 CB 的表达式为 y =- x + ,点 A 、 D 的坐标分别为(-4,0),(0,4).动点 P 自 A 点出发,在 AB 上匀速运行.动点 Q 自点 B 出发,在折线 BCD 上匀速运行,速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点 P 运动 t (秒)时,△ OPQ 的面积为 s (不能构成△ OPQ 的动点除外).(1)求出点 B 、 C 的坐标;(2)求 s 随 t 变化的函数关系式;(3)当 t 为何值时 s 有最大值?并求出最大值 .
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(1)把 y =4代入 y =- x + ,得 x =1. ∴ C 点的坐标为(1,4). 当 y =0时,- x + =0, ∴ x =4.∴点 B 坐标为(4,0). (2)作 CM ⊥ AB 于 M ,则 CM =4, BM =3. ∴ BC = = =5. ∴sin∠ ABC = = . ①当0<t<4时,作 QN ⊥ OB 于 N , 则 QN = BQ ·sin∠ ABC = t. ∴ S = OP · QN = (4- t )× t =- t 2 + t (0< t <4). ②当4< t ≤5时,(如备用图1), 连接 QO , QP ,作 QN ⊥ OB 于 N . 同理可得 QN = t . ∴ S = OP · QN = ×( t -4)× t . = t 2 - t (4< t ≤5). ③当5< t ≤6时,(如备用图2), 连接 QO , QP . S = × OP × OD = ( t -4)×4. =2 t -8(5< t ≤6). (3)①在0< t <4时, 当 t = =2时, S 最大 = = . ②在4< t ≤5时,对于抛物线 S = t 2 - t ,当 t =- =2时, S 最小 = ×2 2 - ×2=- . ∴抛物线 S = t 2 - t 的顶点为(2,- ). ∴在4< t ≤5时, S 随 t 的增大而增大. ∴当 t =5时, S 最大 = ×5 2
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