Question

已知函数f（x）=ax2+bx-lnx（a＞0，b∈R）．（Ⅰ）设a=1，b=-1，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x＞0

已知函数f（x）=ax2+bx-lnx（a＞0，b∈R）．（Ⅰ）设a=1，b=-1，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与-2b的大小．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=x²-x-lnx，f′（x）=2x-1-

1

x

=

(x?1)(2x+1)

x

；
∵x＞0，∴

2x+1

x

＞0；
∴0＜x＜1时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）的单调减区间是（0，1]，单调增区间是（1，+∞）；
（Ⅱ）f′（x）=2ax+b?

1

x

，由题意可知，f（x）在x=1处取得最小值，即x=1是f（x）的极值点；
∴f′（1）=0，∴2a+b=1，即b=1-2a；
令g（x）=2-4x+lnx（x＞0），则g′（x）=

1?4x

x

；
∴当0＜x＜

1

4

时，g′（x）＞0，g（x）在（0，

1

4

）上单调递增；
当x＞

1

4

时，g′（x）＜0，g（x）在（

1

4

，+∞）上单调递减；
∴g（x）≤g（

1

4

）=1+ln

1

4

=1-ln4＜0；
∴g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0；
故lna＜-2b．