Question

设函数f(x)＝2xx2+1，g(x)＝x3?3ax+78，若对于任意x1∈[?12，12]，总存在x2∈[?12，12]，使得g（x2）=f（

设函数f(x)＝2xx2+1，g(x)＝x3?3ax+78，若对于任意x1∈[?12，12]，总存在x2∈[?12，12]，使得g（x2）=f（x1）成立．则正整数a的最小值为______．

Answer 1

由题意可知：f′(x)＝

2?2x2

(x2+1)2

，令导数大于0，可解得-1＜x＜1，所以函数f(x)＝

2x

x2+1

在[?

1

2

，

1

2

]上是增函数
∴f(x)∈[?

4

5

，

4

5

]，
又∵g(x)＝x3?3ax+

7

8

，
∴g′（x）=3x²-3a，当a是正整数时，令g′（x）=3x²-3a≥0得x≥a，或x≤-a，故函数在[?

1

2

，

1

2

]是减函数，
所以g(x)＝x3?3ax+

7

8

∈[1-

3

2

a，

3

4

+

3

2

a]
又对于任意x₁∈[?

1

2

，

1

2

]，总存在x₂∈[?

1

2

，

1

2

]，使得g（x₂）=f（x₁）成立．
∴[?

4

5

，

4

5

]?[1-

3

2

a，

3

4

+

3

2

a]即

3

4

+

3

2

a≥

4

5

且?

4

5

≥1?

3

2

a同时成立，解得a≥

6

5

所以正整数a的最小值为2．
故答案为：2．