(2012?闸北区二模)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,AH⊥BC于点H,AC⊥AB,BD平分∠ABC,分
(2012?闸北区二模)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,AH⊥BC于点H,AC⊥AB,BD平分∠ABC,分别交AH、AC于点E、F.(1)求证:AE...
(2012?闸北区二模)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,AH⊥BC于点H,AC⊥AB,BD平分∠ABC,分别交AH、AC于点E、F.(1)求证:AE=AF;(2)设AB=m,求:sin∠BAH的值.
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解答:证明:(1)∵AC⊥AB,AH⊥BC于点H.
∴∠CAB=∠HAD=90°,
∴∠BAE=∠DAF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
在△BAE和△DAF中,
∴△BAE≌△DAF,
∴AE=AF.
(2)设BH=x,
∵AD∥BC,DC⊥BC,AH⊥BC,
∴四边形AHCD是矩形,
∴HC=AD,
∵AB=AD,AB=m,
∴HC=AB=m,
∵DC⊥BC,AH⊥BC,
∴∠BHA=∠BAC=90°,
∵∠HBA=∠ABC,
∴△HBA∽△ABC,
∴
=
,
∴
=
,即x2+mx-m2=0,
∴x=
=
m,
∵x>0,
∴x=
m,
在Rt△ABH中,sin∠BAH=
=
;
∴∠CAB=∠HAD=90°,
∴∠BAE=∠DAF.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
在△BAE和△DAF中,
|
∴△BAE≌△DAF,
∴AE=AF.
(2)设BH=x,
∵AD∥BC,DC⊥BC,AH⊥BC,
∴四边形AHCD是矩形,
∴HC=AD,
∵AB=AD,AB=m,
∴HC=AB=m,
∵DC⊥BC,AH⊥BC,
∴∠BHA=∠BAC=90°,
∵∠HBA=∠ABC,
∴△HBA∽△ABC,
∴
BH |
BA |
BA |
BC |
∴
x |
m |
m |
x+m |
∴x=
?m±
| ||
2 |
?1±
| ||
2 |
∵x>0,
∴x=
?1+
| ||
2 |
在Rt△ABH中,sin∠BAH=
BH |
AB |
?1+
| ||
2 |
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