Question

离散数学题目求解

3. 设V=<Z，*>，其中*为普通加法。对任意的x属于Z，Φ(x)=ax。

说明a取何值时， Φ是V到V的自同态，并给出证明过程。

说明上述得到的自同态Φ的性质：单自同态、满自同态、自同构？

Answer 1

由Z的封闭性知a为任意整数Im(Φ)都属于Z，又Φ(x+y)=Φ(x)+Φ(y)恒成立，并且恒属于Z。因此a为整数的话是自同态 若a不为整数，则Φ(1)=a不属于Z 因此不是自同态

明显a=0的话Φ(x)恒等0因此Im(Φ)=0为单自同态

满自同态的话需要对于一切整数y，都存在x使得Φ(x)=y，即Im(Φ)=Z 所以a小于等于1，且a=1/k, k属于Z
比如：a=2的话，令y=1则不存在x属于Z使得2x=y=1,因为x=0.5不属于Z。因此a=2不满足满自同态

最后一个问题a=1or-1