Question

二元函数在某一点偏导数连续为什么要求x和y同时逼近该点时极限值等于该点的偏导数值

二元函数在某一点偏导数连续为什么要求x和y同时逼近该点时极限值等于该点的偏导数值，如下图

偏导数不是只研究与x和y坐标轴平行的那两个方向上的变化率吗，如果如上图那样x和y都趋近于一个点的话，那岂不是任意方向都可以了？

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Answer 1

首先，这个函数的偏导数是一个x和y的二元函数，right？
然后，我们让这个偏导数连续，就是让一个x和y的二元函数连续，right？
一个二元函数，连续，当然要xy同时逼近了。