Question

如图，已知抛物线C1：y=-1/4x²+bx+c与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，

抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，点A、B的对称点分别是E、D，连接CD、CB，设AD=m.
(1)当m=2时，求b的值；（2）若点P是抛物线C1上的一个动点（P不与A、B重合），试判断点P关于原点的对称点Q是否在抛物线C2上，请说明理由。

Answer 1

答：
（1）抛物线y=-x^2/4+bx+c，从图中可知，c>0
令y=-x^2/4+bx+c=0，即：x^2-4bx-4c=0
x1=[4b-√(16b^2+16c)]/2=2b-√(b^2+c) x1即点A横坐标
x2=2b+√(b^2+c) x2即点B横坐标
所以点D横坐标为-x2=-2b-√(b^2+c)，点E横坐标-x1=-2b+√(b^2+c)
AD=m=-x2-x1=-(x1+x2)=-4b=2
所以：b=-1/2

（2）C1抛物线y=-x^2/4+bx+c关于y轴对称的抛物线方程C2为y=-x^2/4-bx+c=0
设点P(s,t)在抛物线C1上，假设其关于原点对称的点为（-s，-t）在C2上：
t=-s^2/4+bs+c
-t=-(-s)^2/4-b*(-s)+c=-s^2/4+bs+c
由上两式得：t=-t，解得t=0
t=0即是抛物线与x轴的交点，与题目要求点P不与点A和点B重合矛盾，所以假设不成立。

故抛物线C1上除点A和点B外的动点关于原点对称的点不在抛物线C2上。

Answer 2

1. C1对称轴为 2b,C2对称轴为-2b,

-2b - 2b = 2, b = -1/2

 

2.设P坐标为（a,b）,则Q坐标为（-a.-b）P关于y轴对称点为（-a,b)

 

假如Q在C2上，则当x = -a 时，y有2个值与之对应，这与2次函数相矛盾。所以假设不成立，即不上能在C2

Answer 3

C1: y = -1/4 x^2 + bx + c, A(2b-2sqrt(b^2+c),0), B(2b+2sqrt(b^2+c),0)
C2: D(-2b-2sqrt(b^2+c),0)
AD = 2, b = -1/2

2. 反证，以C点为例，其关于O对称点为（0,-c),不知C2上

追问

具体的能发过来吗？