Question

证明:若正项级数∑an{n=1→∞}[an]收敛,rn=∑{k=n→∞}[ak],则级数∑{n=1→∞}[an/rn]发散.

Answer 1

追答

抱歉，我写的公式有点错误，1)xn-xm =这个多写了一项an/rn ；2)应该是：取varepsilon = rm/2而不是1-rm/2。

追问

嗯嗯 注意到了 还有公式二三行第二项分母应该是m+1，第三行最后一个分母也是一字之差:-) 不过这都不是重点，当时就一直纠结怎么用判别法，但好像都不适用

额。。挑刺儿还挑错了，头脑已经不清楚了，第三行没问题~

Answer 2

这道题题目解答的关键：

1. k=n=1开始取值，an/rn=1、在0到无穷求和，结果为无穷发散。

2. k>n=1开始取值，因为an，rn都是收敛的，an对应的值必然大于rn的值（k取值靠后，所以会小于n）。求和就是无穷个大于1的数相加，结果必然发散。

如果懂了请采纳!谢谢

追问

感谢你的回复！

有点不太明白，k值值靠后，小于n？

追答

这样啊，我看错了，再推了一遍。
Σan/rn=
Σan/（an+an+1.....am）=a1/(a1+.....am)+a2/(a2+.....am)+.....+an/(an+.....am）m代表无穷
>a1/(mam)+a2/[(m-1）am]+.......an/[(m-n)am] {分子取最大，分子取最小}
>Σan/am
{an}收敛，am=0（趋于无穷时），所以级数发散。

看下这样可以成立不，多年不做高数有点搞不懂了。

这样啊，我看错了，再推了一遍。
Σan/rn=
Σan/（an+an+1.....am）=a1/(a1+.....am)+a2/(a2+.....am)+.....+an/(an+.....am）m代表无穷
>a1/(mam)+a2/[(m-1）am]+.......an/[(m-n)am] {分子取最大，分子取最小}
>Σan/am
{an}收敛，am=0（趋于无穷时），所以级数发散。

看下这样可以成立不，多年不做高数有点搞不懂了。

追问

这样做很不严谨吧。首先，m既然作为一个趋于∞的标志，那至少在左边应该有个极限(lim)符号；
其次， “Σan/（an+an+1.....am）=a1/(a1+.....am)+a2/(a2+.....am)+.....+an/(an+.....am）
m代表无穷”
​这一步，最后也应该是am而不是an，那这样一来，最外面的Σ的范围是（加上极限符号）lim...，而做分母的m与外面的m难道可以统一起来？