Question

为什么两个圆的方程相减就得到了焦点的直线方程？

Answer 1

已知：圆C1：X^2+Y^2+D1X+E1Y+F1=0，圆C2：X^2+Y^2+D2X+E2Y+F2=0，C1和C2的交点为A，B
求证：弦AB的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0
证明1：
因为：A，B是C1，C2的交点，
所以A，B点坐标一定满足方程：C1：X^2+Y^2+D1X+E1Y+F1=0 和 C2：X^2+Y^2+D2X+E2Y+F2=0
则：A，B点坐标满足：(X^2+Y^2+D1X+E1Y+F1)-(X^2+Y^2+D2X+E2Y+F2)=0
即：A，B点坐标满足直线：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0
因为：过A，B两点只有一条直线
所以：弦AB的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0
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证明2：
过A，B点的圆系方程为：(X^2+Y^2+D1X+E1Y+F1)+λ(X^2+Y^2+D2X+E2Y+F2)=0
当λ=-1时，过A，B点的圆系方程蜕化为过直线方程：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0
（即：过A，B两点，半径为无穷大的圆）

Answer 2

两圆相减能就出距离，然后只剩下是X的问题，当然可以求出关于XY的焦点方程。