Question

已知复数z满足:(1+i)z1=3+i,虚数z满足:z+4/z为实数.求|z-3z1+6|的最小值

Answer 1

∵（1＋i）z1＝3＋i，∴（1＋i）（1－i）z1＝（3＋i）（1－i），∴（1－i^2）z1＝3－2i－i^2，
∴2z1＝4－2i，∴z1＝2－i。

设z＝a＋bi，则：z＋4/z＝a＋bi＋4/（a＋bi）＝a＋bi＋4（a－bi）/（a^2＋b^2）＝实数，
∴b－4b/（a^2＋b^2）＝0，∴a^2＋b^2＝4，∴√（a^2＋b^2）＝2。

于是：
｜z－3z1＋6｜
＝｜a＋bi－3（2－i）＋6｜＝｜a＋bi＋3i｜≦｜a＋bi｜＋｜3i｜＝√（a^2＋b^2）＋3＝5。
∴｜z－3z1＋6｜的最小值是5。