Question

用数学归纳法证明(2^n-1)/(2^n+1)>n/(n十1)(n≥3，n∈N+)

用数学归纳法证明(2^n-1)/(2^n+1)>n/(n十1)(n≥3，n∈N+)

Answer 1

(2^n-1)/(2^n+1)>n/(n十1)(n≥3，n∈N+)，
<==>1-2/(2^n+1)>1-1/(n+1),
<==>2/(2^n+1)<1/(n+1),
<==>2(n+1)<2^n+1,
<==>2n+1<2^n(n≥3，n∈N+).①
n=3时①左=7，①右=8，①成立；
假设k>=3时2k+1<2^k,那么
2（k+1)+1=2k+3<2(2k+1)=2^(k+1),
即n=k+1时①成立，
∴对n≥3，n∈N+，①都成立，
∴原式成立。

Answer 2

将原不等式化简得2^n＞2n＋1①，原不等式和不等式①等价，只要证明不等式①成立，原不等式也成立。当n=3时，不等式①左边=2^3=8，不等式①右边=2×3＋1=7，所以不等式①左边＞右边，不等式成立；假定当n=k(k≥3为正整数)时，不等式①成立，即2^k＞2k＋1②，②式两边同时乘2得:2^(k＋1)＞4k＋2=2k＋2＋2k=2(k＋1)＋2k，由于k≥3，所以2k≥6＞1，所以2^(k＋1)＞2(k＋1)＋2k＞2(k＋1)＋1，即2^(k＋1)＞2(k＋1)＋1，所以当n=k＋1时，不等式①也成立，所以对所有n≥3的正整数，不等式①均成立，即原不等式成立。