Question

已知椭圆 E： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的左、右焦点分别

已知椭圆 E： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的左、右焦点分别为F 1 、F 2 ，点M是椭圆上的任意一点，且|PF 1 |+|PF 2 |=4，椭圆的离心率 e= 1 2 ．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过椭圆E的左焦点F 1 作直线l交椭圆于P、Q两点，点A为椭圆右顶点，能否存在这样的直线，使 AP ? AQ =3 ，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）由题意可得 |M F 1 |+|M F 2 |=4=2a e= c a = 1 2 a 2 = b 2 + c 2 ，解得 a=2，c=1 b 2 =3 ． 故椭圆的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ． （II）若直线l⊥x轴，则 P(-1， 3 2 ) ， Q(-1，- 3 2 ) ， 又A（2，0），∴ AP = (-3， 3 2 ) ， AQ =(-3，- 3 2 ) ， ∴ AP ? AQ =9- 9 4 = 27 4 ≠3 ，此时不满足条件，直线l不存在． 当直线l的斜率存在时，设直线ld的方程为：y=k（x+1），P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ）． 联立 y=k(x+1) x 2 4 + y 2 3 =1 ，消去y得到（3+4k 2 ）x 2 +8k 2 x+4k 2 -12=0， ∴ x 1 + x 2 = -8 k 2 3+4 k 2 ， x 1 x 2 = 4 k 2 -12 3+4 k 2 ． ∵ AP =( x 1 -2， y 1 ) ， AQ =( x 2 -2， y 2 ) ． ∴ AP ? AQ =( x 1 -2)( x 2 -2)+ y 1 y 2 =（x 1 -2）（x 2 -2）+k（x 1 +1）?k（x 2 +1）=3． ∴ (1+ k 2 ) x 1 x 2 +( k 2 -2)( x 1 + x 2 )+ k 2 +1=0 ， ∴ (1+ k 2 )(4 k 2 -12) 3+4 k 2 - 8 k 2 ( k 2 -2) 3+4 k 2 + k 2 +1=0 ， 解得 k=± 15 5 ． ∴满足条件的直线l存在，其方程为 y=± 15 5 (x+1) ．