（2013?房山区二模）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延
（2013?房山区二模）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直...
（2013?房山区二模）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线；（2）若BC=25，sin∠BCP=55，求⊙O的半径及△ACP的周长．
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（1）证明：连接AN，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，
∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC，
∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠CAN=∠BCP．
∵∠CAN+∠ACN=90°，
∴∠BCP+∠ACN=90°，
∴CP⊥AC
∵OC是⊙O的半径
∴CP是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ANC=90°，sin∠BCP=
| ||
| 5 |
∴
| CN |
| AC |
| ||
| 5 |
∴AC=5，
∴⊙O的半径为
| 5 |
| 2 |
如图，过点B作BD⊥AC于点D．
由（1）得BN=CN=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
在Rt△CAN中，AN=
| AC2?CN2 |
| 5 |
在△CAN和△CBD中，
∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，
∴△CAN∽△CBD，
∴
| BC |
| AC |
| BD |
| AN |
∴BD=4．
在Rt△BCD中，CD=
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