Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1，（

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1，（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：在梯形 中， ∵ ， ，∠ ＝ ， ∴ ，   ∴ ， ∴ ， ∴ ⊥ ，   ∵平面 ⊥平面 ， 平面 ∩平面 ， 平面 ， ∴ ⊥平面 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）可建立分别以直线 为 建立如图所示的空间直角坐标系， 令 ， 则 ， ， ∴ ， 设 为平面MAB的一个法向量， 由 得 ， 取 ，则 ， ∵ 是平面FCB的一个法向量， ∴ ，    ∵ ，     ∴当 时， 有最小值 ； 当 时， 有最大值 ； ∴ 。