Question

已知函数f（x）=ax 3 +bx 2 ﹣3x在x=±1处取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：对于区间[﹣1

已知函数f（x）=ax 3 +bx 2 ﹣3x在x=±1处取得极值（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x 1 ，x 2 ，都有|f（x 1 ）﹣f（x 2 ）|≤4；（3）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3ax 2 +2bx﹣3， 依题意，f′（1）=f′（﹣1）=0，解得a=1，b=0． ∴f（x）=x 3 ﹣3x （2）∵f（x）=x 3 ﹣3x， ∴f′（x）=3x 2 ﹣3=3（x+1）（x﹣1）， 当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）在区间[﹣1，1]上为减函数， f max （x）=f（﹣1）=2，f min （x）=f（1）=﹣2 ∵对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x 1 ，x 2 ， 都有|f（x 1 ）﹣f（x 2 ）|≤|f max （x）﹣f min （x）| |f（x 1 ）﹣f（x 2 ）|≤|f max （x）﹣f min （x）|=2﹣（﹣2）=4 （3）f′（x）=3x 2 ﹣3=3（x+1）（x﹣1）， ∵曲线方程为y=x 3 ﹣3x， ∴点A（1，m）不在曲线上． 设切点为M（x 0 ，y 0 ），切线的斜率为  （左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），整理得2x 0 3 ﹣3x 0 2 +m+3=0． ∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解， 下研究方程解有三个时参数所满足的条件 设g（x 0 ）=2x 0 3 ﹣3x 0 2 +m+3，则g′（x 0 ）=6x 0 2 ﹣6x 0 ， 由g′（x 0 ）=0，得x 0 =0或x 0 =1． ∴g（x 0 ）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减． ∴函数g（x 0 ）=2x 0 3 ﹣3x 0 2 +m+3的极值点为x 0 =0，x 0 =1 ∴关于x 0 方程2x 0 3 ﹣3x 0 2 +m+3=0有三个实根的充要条件是  ， 解得﹣3＜m＜﹣2． 故所求的实数a的取值范围是﹣3＜m＜﹣2．