Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b-c）cosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知a=3，D

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b-c）cosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知a=3，D点为边BC的中点，试求AD的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵acosC=（2b-c）cosA，
∴sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA，
∴sin（A+C）=2sinBcosA，
∴sinB=2sinBcosA，
∵又sinB≠0
∴cosA＝

1

2

，
∵0＜A＜π∴A＝

π

3

．
（Ⅱ）∵

b

sinB

＝

a

sinA

＝2，
∴b=2sinB
∴AD²=b²+（

a

2

）²-2?

a

2

?b?cosC
=4sin²B+

3

4

-2

3

sinBcosC
=4sin²B+

3

4

-2

3

sinBcos（

2π

3

-B）
=sin²B+

3

sinBcosB+

3

4

=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+

5

4

=sin（2B-

π

6

）+

5

4

∵B∈(0，

2π

3

)∴2B?

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