Question

已知数列{an}满足：a1=2，an+1=2an+2n+1（n∈N*）（1）记bn＝an2n，证明：数列{bn}为等差数列．（2）求数

已知数列{an}满足：a1=2，an+1=2an+2n+1（n∈N*）（1）记bn＝an2n，证明：数列{bn}为等差数列．（2）求数列{an}的通项公式an及前n项和为Sn．

Answer 1

（1）由已知有：

an+1

2n+1

＝

an

2n

+1(n∈N*)，
即：b_n+1-b_n=1（n∈N^*）
∴数列{b_n}为等差数列，其首项为1，公差为1       
（2）由（1）知：b_n=1+（n-1）×1=n（n∈N^*）
即：

an

2n

＝n(n∈N*)∴a_n=n2ⁿ（n∈N^*）
∴S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n2ⁿ
2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n2ⁿ⁺¹
两式相减，得：
?Sn＝21+22+23+…+2n?n2n+1＝

2(1?2n)

1?2

?n2n+1＝2n+1?2?n2n+1
∴a_n=n2ⁿS_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2