Question

（1）设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；（2）设正数p1，p2，p3，…，p

（1）设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；（2）设正数p1，p2，p3，…，p2n满足p1+p2+p3+…+p2n=1，求证：p1lnp1+p2lnp2+p3lnp3+…+p2nlnp2n≥-n．

Answer 1

（1）解：对函数f（x）求导数：f'（x）=（xlnx）'+[（1-x）ln（1-x）]'=lnx-ln（1-x）．于是f′(

1

2

)＝0．
当x＜

1

2

，f′(x)＝lnx?ln(1?x)＜0，f(x)在区间(0，

1

2

)是减函数，
当x＞

1

2

，f′(x)＝lnx?ln(1?x)＞0，f(x)在区间(

1

2

，1)是增函数．
所以f(x)在x＝

1

2

时取得最小值，f(

1

2

)=ln

1

2

，
（2）用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，由（1）知命题成立．
（ii）假定当n=k时命题成立，即若正数p1，p2，…，p2k满足p1+p2+…+p2k＝1，
则p1log2p1+p2log2p2+…+p2klog2p2k≥?k．
当n=k+1时，若正数p1，p2，…，p2k+1满足p1+p2+…+p2k+1＝1，
令x＝p1+p2+…+p2k，q1＝

p1

x

，q2＝

p2

x

，…，q2k＝

p2k

x

．
则q1，q2，…，q2k为正数，且q1+q2+…+q2k＝1．
由归纳假定知q1lnp<