Question

积分问题，求详解。

Answer 1

令√3x=t
3x=t²
x=t²/3
dx=2/3 tdt
所以
原式=∫2/3 t/(1+t)dt
=2/3 ∫(1-1/(1+t))dt
=2/3 (t-ln|1+t|)+c
=2/3(√3x-ln(1+√3x))+c

Answer 2

x= (1/3) (tany)^4
dx =(4/3) (tany)^3 . (secy)^2 dy
∫ dx/[1+ √(3x)]
=(4/3)∫ (tany)^3 dy
=(4/3)∫ [(siny)^2/ (cosy)^3 ] d(cosy)
=(4/3)∫{ [ 1-(cosy)^2]/ (cosy)^3 } d(cosy)
=(4/3){ -1/[2(cosy)^2] - ln|cosy| } + C

x= (1/3) (tany)^4
tany = (3x)^(1/4)
cosy = 1/[1+√(3x)]

∫ dx/[1+ √(3x)]
=(4/3){ -1/[2(cosy)^2] - ln|cosy| } + C

=(4/3) { -(1/2) [1+√(3x)]^2 + ln|1+√(3x)| } + C

Answer 3

令√（3x）=t
x=t²/3. dx=2t/3 dt

原式=2/3∫ t/(1+t) dt
=2/3 ∫[ 1- 1 / (1+t) ] dt
=2/3[ t-ln(1+t) ]
=2/3[ √（3x）-ln(1+（√3x）） ]+C。
完毕。