Question

求y=arcsinx+2arctanx的值域

Answer 1

反三角函数的图像不知你是否烂熟于心。

记f(x)=y=arcsinx+2arctanx
对于arcsinx与arctanx来说其在定义域范围内都是增函数。
因而f(x)=arcsinx+2arctanx是增函数

又考虑到arcsinx的定义域为[-1，1] ，值域为[-π/2，π/2]
y=arctanx的定义域为（-∞，+∞），值域为（-π/2，π/2）
∴f(x)=arcsinx+2arctanx的定义域为[-1，1]
∴最小值为f(-1)=-π/2+2*(-π/4)=-π
同理最大值为f(1)=π/2+2*(π/4)=π
即值域为[-π，π]

Answer 2

公共定义域为【-1，1】
函数arcsinx; 2arctnax 均为定义域上的增函数
ymin=y(-1)=﹣π/2+2(-π/4)=-π;
又因为原函数是奇函数，所以
y(MAX)=π
所以值域 为：【-π，π】