Question

设对任意实数x>0,y>0。若不等式x+√xy≤a(x+2y)恒成立,则实数a的最小值为

Answer 1

√氏宽(xy)≤(a-1)x+2ay
xy≤(a-1)^2x^2+4a^2y^2+4a(a-1)xy
(a-1)^2x^2+4a^2y^2+[4a(a-1)-1]xy≥0
4a^2(y/x)^2+(4a^2-4a-1)(y/x)+ (a-1)^2 ≥0
若上式毕核岩恒成立需满足:
(-4a^2+4a+1)/(8a^2)≤0
解得a≥(1+√2)/2
故a的最小值手御为(1+√2)/2。

追问

这，，是不是太复杂了。。

追答

报歉上面解答有误!
下面新解:
a≥[x+√(xy)]/(x+2y)
=[1+√(y/x)]/[1+2(y/x)]
设√(y/x)=u
=(1+u)/(1+2u^2)
(1+2u^2)/(1+u)
=[2(1+u)^2-4(1+u)+3]/(1+u)
=2(1+u)+3/(1+u)-4
≥2√6-4
∴ (1+u)/(1+2u^2)≤1/(2√6-4)=(2√6+4)/8=(√6+2)/4
∴a最小值为(√6+2)/4。