Question

已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=9cm，CD=7cm，AD=5cm，动点P从点A出发，沿AB向点B运动，同时，动

已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=9cm，CD=7cm，AD=5cm，动点P从点A出发，沿AB向点B运动，同时，动点Q从C出发，沿CD以1cm/s的速度向点D运动，当一个动点到达终点时另一动点也随之停止。设运动时间为t s。
（1）若点P的运动速度为2cm/s，连结PQ，PD
①求证：当t=3时，四边形PBCQ是平行四边形；
②当t为何值时，△PDQ是以PD为一腰的等腰三角形？
（2）若点P的运动速度为1cm/s，请求出线段PQ在梯形中运动所扫过的区域的面积

Answer 1

⑴①AP=2t=6，∴PB=AB-AP=3，CQ=t=3，∵AB∥CD，
∴四边形PBCQ是平行(一组对边平行且相等)。
②PD=√(AD^2+AP^2)=√(25+4t^2)，DQ=7-t，
过Q作QR⊥AB于R，则AR=DQ=7-t，
∴BR=9-(7-t)=t+2，PR=9-AP-BR=7-3t，
∴PQ=√(QR^2+PR^2)=√［25+(7-3t)^2］，
1)PD=DQ，25+4t^2=49-14t+t^2，t =4/3(取正)；
2)PD=PQ，25+(7-3t)^2=25+4t^2，5t^2-42t+49=0，t=1.4或7(舍去)，
∴当t=4/3或1.4时，ΔPDQ是等腰三角形。
⑵过C作CE⊥AB于E，连接AC、DE相交于O，
∵P、Q速度相等，∴PQ始终经过O，
∴扫过面积S=SΔOCD+SΔOAE=1/2*AD*CD=35/2。