Question

设a,b,c分别是三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边，S是三角形ABC的面积，

已知a=4,b=5,S=5√3。求角C。求c边的长

Answer 1

作BD⊥AC于D，
∵S△ABC=1/2AC*BD=5√3，AC=5，
∴BD=2√3，
∴CD=√(BC²-BD²)=2，
∴∠BCD=60°
①若∠C是锐角，则
∠C=60°，AB(c)=√(BD²+AD²)=√21

②若∠C是钝角，则
∠C=120°，c=√(BD²+AD²)=√61

Answer 2

充要条件
1.先证a^2=b(b+c)是A=2B的充分条件
a^2=b(b+c)
4R^2sinA^2=4R^2sinB(sinB+sinC){正弦定理}
sinA^2=sinB(sinB+sinC)
(sinA-sinB)(sinA+sinB)=sinB*sinC
sinA-sinB=2sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
(sinA-sinB)(sinA+sinB)
=2sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
=sin(A-B)sin(A+B)
sin(A-B)sin(A+B)=sinB*sinC=sinB*sin(A+B)
sin(A-B)=sinB
A-B=B
A=2B
得证
2.证a^2=b(b+c)是A=2B的必要条件
很显然这题可以倒推，步骤大致为
A=2B
sin(A-B)=sinB
sin(A-B)sin(A+B)=sinB*sin(A+B)
......

追问

求角C的度数，和c的长度而已。。。