Question

如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是______．①∠BAD=∠AC

如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是______．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB-BD=AC-CD．

Answer 1

应添加的条件是②③④； 证明：②当∠BAD=∠CAD时， ∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高； 则△ABD≌△ACD， ∴△BAC是等腰三角形； ③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF； ∵AB+BD=CD+AC， ∴DE=DF，又AD⊥BC； ∴△AEF是等腰三角形； ∴∠E=∠F； ∵AB=BE， ∴∠ABC=2∠E； 同理，得∠ACB=2∠F； ∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形； ④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得： AB 2 -BD 2 =AC 2 -CD 2 ， 即（AB+BD）（AB-BD）=（AC+CD）（AC-CD）； ∵AB-BD=AC-CD①， ∴AB+BD=AC+CD②； ∴①+②得：， 2AB=2AC； ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形 故填②③④．