Question

我们知道三角形一边上的中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形．如图1，AD是△ABC边BC上的中线，则S

我们知道三角形一边上的中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形．如图1，AD是△ABC边BC上的中线，则S△ABD=S△ACD（1）如图2，△ABC的中线AD、BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）如图3，在△ABC中，已知点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且S△ABC=8，求△BEF的面积S△BEF（3）如图4，△ABC的面积为1．分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1．再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此规律，倍长n次后得到的△AnBnCn的面积为______．

Answer 1

解答：（1）答：S_△ABF=S_{四边形CEFD}．理由：
解：如图，
∵AD和BE是△ABC的两条中线，
∴△ABD面积=△ACD面积，△BCE面积=△ABE面积，
即S₁+S₄=S₂+S₃①，S₂+S₄=S₁+S₃②，
①-②得：S₁-S₂=S₂-S₁，
∴S₁=S₂．
∴S_△ABF=S_{四边形CEFD}．

（2）解：∵点D、E分别为BC、AD的中点，
∴S_△ABD=S_△ACD=

1

2

S_△ABC，
S_△BDE=

1

2

S_△ABD=

1

4

S_△ABC，
S_△CDE=

1

2

S_△ACD=

1

4

S_△ABC，
∴S_△BCE=S_△BDE+S_△CDE=

1

4

S_△ABC+

1

4

S_△ABC=

1

2

S_△ABC，
∵F是CE的中点，
∴S_△BEF=

1

2

S_△BCE=

1

2

×

1

2

S_△ABC=

1

4

S_△ABC，
∴S_△BEF：S_△ABC=1：4．
又∵S_△ABC=8
∴S_△BEF=2．

（3）解：连接AB₁、BC₁、CA₁，根据等底等高的三角形面积相等，
△A₁BC、△A₁B₁C、△AB₁C、△AB₁C₁、△ABC₁、△A₁BC₁、△ABC的面积都相等，
所以，S_△A1B1C1=7S_△ABC，
同理S_△A2B2C2=7S_△A1B1C1，=7²S_△ABC，
依此类推，S_△AnBnCn=7ⁿS_△ABC，
∵△ABC的面积为1，
∴S_△AnBnCn=7ⁿ．
故答案为：7^n．