Question

如图所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，线能承受的最大拉力是9mg，细线的另一端固定在A点，AB是过

如图所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，线能承受的最大拉力是9mg，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5l，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，现将小球拉直水平，然后由静止释放，小球在运动过程中，不计细线与钉子碰撞时的能量损失，不考虑小球与细线间的碰撞．（1）若钉铁钉位置在E点，求细线与钉子碰撞前后瞬间，细线的拉力分别是多少？（2）若小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动，求钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值．

Answer 1

（1）小球释放后沿圆周运动，运动过程中机械能守恒，设运动到最低点速度为v，由机械能守恒定律得：
mgl=

1

2

mv2，碰钉子瞬间前后小球运动的速率不变，碰钉子前瞬间圆周运动半径为l，碰钉子前瞬间线的拉力为F₁，碰钉子后瞬间圆周运动半径为

1

2

l，碰钉子后瞬间线的拉力为F₂，由圆周运动、牛顿第二定律得：
F1?mg＝

mv2

l

，
F2?mg＝

mv2

1 2 l

得F₁=3mg，F₂=5mg
（2）设在D点绳刚好承受最大拉力，记DE=x₁，则：AD=

x12+( l 2 )2

悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：r₁=l-AD=l-

x12+( l 2 )2

当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v₁，由牛顿第二定律有：
F-mg=m

v12

r1

结合F≤9mg
由机械能守恒定律得：mg （

l

2

+r₁）=

1

2

mv₁²
由上式联立解得：x₁≤

2

3

l
随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大．转至最高点的临界速度也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径r越大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了．
设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x₂，
则：AG=

x22+( l 2 )2

，r₂=l-AG=l-

x22+( l 2 )2

在最高点：mg≤

v12

r2

 由机械能守恒定律得：mg （

l

2

-r₂）=

1

2

mv₁² 联立得：x₂≥

7

6

l
钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值范围是：

7

6

l≤x≤

2

3

l
答：（1）若钉铁钉位置在E点，细线与钉子碰撞前后瞬间，细线的拉力分别是3mg和5mg；
（2）若小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动，则钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值范围为

7

6

l≤x≤

2

3

l．