Question

求一道，线性代数的大题。求详细过程。

Answer 1

证明思路：首先证明A中的2个向量是线性无关的，即不存在不同时为0的k1,k2使k1*a1+k2*a2=0，这很好证明就不详述了，同理可证明B中2向量线性无关；然后将A，B一共4个向量组成一个矩阵M=[a1 a2 b1 b2],对M进行初等变换，求出M的秩为2，也就是说向量组A+B中任意向量可由其中2个线性无关的向量线性表示，即A+B中任意2个线性无关的向量可作为其基，那么如果取a1和a2为基则b1和b2可被其线性表示出来，根据向量空间和它的基的定义：空间内的所有向量都可被基线性表示出来，且空间中所有向量的运算得到的向量都在该空间内，那么以a1和a2为基的空间中必然有b1和b2，而向量空间中任意极大线性无关组可作为该空间的基，则若该空间以A为基，那么秩为2，那么B由于写算式该空间的极大线性无关组，所以也算是该空间的基，所以A和B可算是同一个向量空间中的基。

令A=[a1 a2],B=[b1 b2],过渡矩阵C满足A=BC,
C=[0.5 0.5]
1.5 0.5