Question

高等数学，求解第5大题的第5小题，同时想了解做这种题的常规思路，谢谢

Answer 1

　　用罗必达法则，limx->正无穷∫(0,x)(arctant)^2dt/根号下（x^2+1)=limx->正无穷 (arctanx)^2 × 根号下（x^2+1)/x

　　limx->正无穷 (arctanx)^2 =\pi^2/4

　　limx->正无穷  根号下（x^2+1) /x=1

　　所以原极限=\pi^2/4（圆周率平方除以4）

　　上面用到了[∫<a,x>f(t)dt]`=f(x)，其中a为任意常数。

　　lim<x→+∞>[x/√(x&sup2;+1)]=1

追问

不明白为什么是根号下那个还要除x

追答

这下子明白了吧。重要的是求导

下图

追问

第一步是怎么弄的

追答

上下求导积分就没了啊。然后根据
　limx->正无穷 (arctanx)^2 =\pi^2/4
　　limx->正无穷 根号下（x^2+1) /x=1
就可带入求极限了。

Answer 2

思路是看求极限的类型，上面的都是0/0和∞/∞类型的，第一想法当然是洛必达法则。其实上面的题型，都是考察变限积分的求导法则，根据洛必达，一求导积分号就去掉了，然后再按照一般的求极限方法，等价无穷小，变量代换等等。大致思路是这样，一般洛必达都能搞定的