Question

设f(x)在x属于x大于等于a的区间上二阶可导，且f"(x)<0,f'(a)<0,f(a)>0,证

设f(x)在x属于x大于等于a的区间上二阶可导，且f"(x)<0,f'(a)<0,f(a)>0,证明方程f(x)=0在此区间上，至少有一个实根。

Answer 1

由拉格朗日中值定理，
① f（ka）-f（a）=（k-1）af′（x1），a＜x1＜ka，其中k为整数，且k≥2，
∵ f′′（x）＜0，f′（a）＜0，
∴ f′（x1）＜f′（a）＜0，
∴ f（ka）-f（a）＜（k-1）af′（a），
选取k，使得k满足k-1＞-f（a）/f′（a），
则可得到f（ka）＜f（a）+（k-1）af′（a）＜0，又f（a）＞0，
由介值定理，必存在 a＜x2＜ka，使得f（x2）=0，则f（x）=0至少有一个实根为x2。