Question

抛物线y=-x^2+mx+n与x轴分别交于点A(4,0),B(-2,0),与y轴交于点C。

M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，三角形ACM的面积最大？
求高手用初中知识解答！

Answer 1

抛物线y=-x^2+mx+n与x轴分别交于点A(4,0),B(-2,0),与y轴交于点C。得
m=2，n=8
抛物线y=-x^2+2x+8=-（x-1）^2+9
C点坐标为（0，8）
直线AC的方程为Y=-2X+8
M为第一象限内抛物线上一动点
y‘=-2x+2=-2
得x=2，对应y=8
当M点坐标为（2，8）时，三角形ACM的面积最大，其最大面积=8

追问

谢谢，不要用导数，用初中的方法会解答，这是中考模拟试卷上的试题，初中根本就没学导数！求用初中知识解答！

追答

设M点坐标为（x，y）
分点M在直线y=8上下两种情况进行：
（1）点M在直线y=8上
三角形ACM的面积=（x+4）*y/2-x（y-8）/2-8*4/2=4x+2y-16=-2x^2+8x=-2(x-2)^2+8
得x=2, y=8时有最大值
（2）点M在直线y=8下
三角形ACM的面积=（x+4）*y/2+x（8-y）/2-8*4/2=4x+2y-16=-2x^2+8x=-2(x-2)^2+8
得x=2, y=8时有最大值
综合(1)和(2)得,当M点坐标为（2，8）时，三角形ACM的面积最大，其最大面积=8

Answer 2

题目当中已经说明M为第一象限内抛物线上一动点，所以不用分情况讨论