Question

这道题帮忙解一下， 顺便给我说一下，这种最值的题怎么做，谢谢了

已知AB=10， P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，，则EF最小值=？

Answer 1

C 、D的 位置是怎么定的？
假设AC=a，CP=x，
EP=AP=a+x，FP=BP=10－a－x
根据余弦型举定理
EF^2=EP^2+FP^2－2×EP×FP×cos∠EPF
=（a+x）^2+(10－a－x）^2－2×（枣租虚a+x）×(10－a－x）×cos60°
=3（x+a－5）^2+25
当x+a－5=0，即x=5－a时，EF^2=25
EF取得最小值5

解这种问题，就是将找变量的表达式，用纯数学的凳燃方法解答

追问

额，没怎么看懂。这个图不是原图，我在网上找了个差不多的。其中G，C,D点没有用。另外我卷子上的图，做了一些辅助线。过E做EH垂直AB，过F做FI垂直AB过F做FQ垂直EH，这个怎么用啊

追答

如果GCD点没用，表达式就简单了：

假设AP=x，

EP=AP=x，FP=BP=10－x

根据余弦定理

EF^2=EP^2+FP^2－2×EP×FP×cos∠EPF

=x^2+(10－x）^2－2x(10－x）cos60°

=3（x－5）^2+25

当x－5=0，即x=5时，EF^2=25

EF取得最小值5

 

做辅助线用的是另一种解法：

设AP=a，则BP=10－a

在等边三角形△APE中，EH=√3a/2

在等边三角形△BPF中，FI=√3（10－a）/2

QE=FI－EH=√3（10－a）/2－√3a/2=5√3－a√3

QF=HI=a/2+(10－a)/2=5

在直角三角形△EQF中

EF^2=QF^2+QE^2

即EF^2=5^2+(5√3－a√3)^2

=3a^2－30a+100

=3(a^2－10a+25)+25

=3(a－5)^2+25

当a－5=0时，EF^2取得最小值，EF^2=25

EF的最小值为：EF=5