Question

已知函数： f(x)=x-(a+1)lnx- a x (a∈R) ， g(x)= 1 2 x 2 + e x -x e x

已知函数： f(x)=x-(a+1)lnx- a x (a∈R) ， g(x)= 1 2 x 2 + e x -x e x （1）当x∈[1，e]时，求f（x）的最小值；（2）当a＜1时，若存在 x 1 ∈[e， e 2 ] ，使得对任意的x 2 ∈[-2，0]，f（x 1 ）＜g（x 2 ）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）的定义域为（0，+∞）， f ′ (x)= (x-1)(x-a) x 2 (a∈R) ， 当a≤1时，x∈[1，e]，f′（x）≥0，f（x）为增函数， 所以f（x） min =f（1）=1-a； 当1＜a＜e时，x∈[1，a]，f′（x）≤0，f（x）为减函数，x∈[a，e]，f′（x）≥0，f（x）为增函数， 所以f（x） min =f（a）=a-（a+1）lna-1； 当a≥e时，x∈[1，e]，f′（x）≤0，f（x）为减函数， 所以 f(x ) min =f(e)=e-(a+1)- a e ； 综上，当a≤1时，f（x） min =1-a；当1＜a＜e时，f（x） min =a-（a+1）lna-1；当a≥e时， f(x ) min =e-(a+1)- a e ； （2）存在 x 1 ∈[e， e 2 ] ，使得对任意的x 2 ∈[-2，0]，f（x 1 ）＜g（x 2 ）恒成立，即 f（x） min ＜g（x） min ， 当a＜1时，由（1）可知，x∈[e，e 2 ]，f（x）为增函数， ∴ f( x 1 ) min =f(e)=e-(a+1)- a e ， g′（x）=x+e x -xe x -e x =x（1-e x ）， 当x∈[-2，0]时g′（x）≤0，g（x）为减函数，g（x） min =g（0）=1， ∴ e-(a+1)- a e ＜1 ， a＞ e 2 -2e e+1 ， ∴ a∈( e 2 -2e e+1 ，1) ．