Question

已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y＝12

已知函数f（x）=log9（9x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y＝12x+b没有交点，求b的取值范围；（3）设h(x)＝log9(a?3x?43a)，若函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）因为y=f（x）为偶函数，所以?x∈R，f（-x）=f（x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx对于?x∈R恒成立．
即2kx＝log9(9?x+1)?log9(9x+1)＝log9

9x+1

9x

?log9(9x+1)＝?x恒成立
即（2k+1）x=0恒成立，
而x不恒为零，所以k＝?

1

2

．
（2）由题意知方程log9(9x+1)?

1

2

x＝

1

2

x+b即方程log₉（9^x+1）-x=b无解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
因为g(x)＝log9

9x+1

9x

＝log9(1+

1

9x

)
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则0＜9x1＜9x2，从而

1

9x1

＞

1

9x2

．
于是log9(1+

1

9x1

)＞log9(1+

1

9x2

)，即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（-∞，+∞）是单调减函数．
因为1+

1

9x

＞1，所以g(x)＝log9(1+

1

9x

)＞0．所以b的取值范围是（-∞，0]．
（3）由题意知方程3x+

1

3x

＝a?3x?

4

3

a有且只有一个实数根．
令3^x=t＞0，则关于t的方程(a?1)t2?

4

3

at?1＝0（记为（*））有且只有一个正根