Question

在如图1所示的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=BC=12CD=a，E为CD中点．若沿AE将三角形DAE折起，使平面DA

在如图1所示的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=BC=12CD=a，E为CD中点．若沿AE将三角形DAE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，连接DB，DC，得到如图2所示的几何体D-ABCE，在图2中解答以下问题：（Ⅰ）设F为AB中点，求证：DF⊥AC；（Ⅱ）求二面角A-BD-C的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AE中点H，连接HF，连接EB
因为△DAE为等边三角形，所以DH⊥AE
因为平面DAE⊥平面ABCE，平面DAE∩平面ABCE=AE
所以DH⊥平面ABCE，
因为AC?平面ABCE
所以AC⊥DH…（2分）
因为ABCE为平行四边形，CE=BC=a
所以ABCE为菱形，所以AC⊥BE
因为H、F分别为AE、AB中点，所以HF∥BE
所以AC⊥HF…（4分）
因为HF?平面DHF，DH?平面DHF，且HF∩DH=H
所以AC⊥平面DHF，又DF?平面DHF
所以DF⊥AC…（6分）
（Ⅱ）解：连接BH，EB
由题意得三角形ABE为等边三角形，所以BH⊥AE
由（Ⅰ）知DH⊥底面ABCE以H为原点，分别以HA，HB，HD所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，如图所示
则A(

a

2

，0，0)，B(0，

3

2

a，0)，D(0，0，

3

2

a)，C(-a，

3

2

a，0)
所以

BD

=(0，-

3

2

a，

3

2

a)，

BC

=(-a，0，0)
设面DCB的法向量为

m

=(x，y，z)，则

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