Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*．（1）证明：{an-1}是等比数列；（2）（理科）求数列{

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*．（1）证明：{an-1}是等比数列；（2）（理科）求数列{Sn}的通项公式，并求n为何值时Sn取得最小值，并说明理由．（文科）求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn+1＞Sn成立的最小正整数n．

Answer 1

（1）证明：∵Sn＝n?5an?85，n∈N*（1）
∴S_n+1=（n+1）-5a_n+1-85（2）…1分
从而由（2）-（1）可得：a_n+1=1-5（a_n+1-a_n）…3分
即：an+1?1＝

5

6

(an?1)，n∈N*，…5分
从而{a_n-1}为等比数列，…6分
（2）解：由Sn＝n?5an?85，n∈N*可得：a₁=S₁=1-5a₁-85，即a₁=-14…8分
因为数列{a_n-1}为等比数列，且首项a₁-1=-15，公比为

5

6

，
所以，通项公式为an?1＝?15*(

5

6

)n?1，从而an＝?15*(

5

6

)n?1+1…11分
所以，Sn＝n+75?(

5

6

)n?1?90                                  …13分
（理科）由

Sn+1≥Sn Sn?1≥Sn

得14.8532≤n≤15.8532，又n∈N^*，所以n=15．…16分
（文科）S_n+1＞S_n即a_n+1＞0，?15*(

5

6

)n+1＞0，(

5

6

)n＜

1

15

，
解得n＞log

5

6

1

15

，从而n_min=15．                                     …16分
（注：方法不同，请酌情给分）