Question

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成递减的等差数列，若∠A=2∠C，则ac=3232

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成递减的等差数列，若∠A=2∠C，则ac=3232．

Answer 1

△ABC中，由a，b，c成递减的等差数列，可设a=b+d，c=b-d，d＞0．
∵∠A=2∠C，∴sin∠A=2sin∠C?cos∠C，∴cos∠C=

sin∠A

2sin∠C

=

a

2c

=

b+d

2b?2d

．
再由余弦定理可得cos∠C=

a2+b2?c2

2ab

=

(b+d)2+b2?(b?d)2

2(b+d)b

=

4d+b

2b+2d

，
∴

b+d

2b?2d

=

4d+b

2b+2d

，求得b=5d，∴

a

c

=

b+d

b?d

=

6d

4d

=

3

2

，
故答案为：

3

2

．